定性分析 & 定量分析

定性分析和定量分析是研究和数据分析中的两种基本方法，它们用不同的方式来收集和分析数据。

常见的统计量

用于帮助我们理解数据的特点，可以得到数据集的一个很好的概述，了解数据的分布和中心趋势

1. 最小值 (Min)：
   • 这是数据集中最小的数值。
   • 例如，在一个包含 2, 4, 7, 9 的数据集中，最小值是 2。
2. 下四分位数 (Quantile 1) 或 25th 百分位数：
   • 也称为第一四分位数，它是将数据集分为四等分后的第一个切点。
   • 例如，在一个包含 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 的数据集中，Q1 的值是 2.75 (25% 的数据小于或等于这个数值)。
3. 中位数 (Median) 或 Quantile 2：
   • 中位数是将数据集从中间分开的值，一半的数据值位于中位数的左边，另一半位于右边。
   • 如果数据集的数量是奇数，则中位数就是中间的数；如果是偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
   • 例如，在一个包含 3, 5, 7, 9 的数据集中，中位数是 6。
4. 平均数 (Mean)：
   • 平均数是所有数据值的总和除以数据值的数量。
   • 例如，在一个包含 2, 3, 4, 5 的数据集中，平均数是 (2+3+4+5) / 4 = 3.5。
5. 上四分位数 (Quantile 3) 或 75th 百分位数：
   • 也称为第三四分位数，它是将数据集分为四等分后的第三个切点。
   • 例如，在一个包含 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 的数据集中，Q3 的值是 5.25 (75% 的数据小于或等于这个数值)。
6. 最大值 (Max)：
   • 这是数据集中最大的数值。
   • 例如，在一个包含 2, 4, 7, 9 的数据集中，最大值是 9。
7. 频数 (Frequency):
   • 例如，在一个数据集{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4}中，数字3的频数是3，因为它出现了三次。
8. 频率 (Relative Frequency):
   • 在同一个数据集{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4}中，数字3的频率是3/7 ≈ 0.43，因为它出现了三次，总的数据点数量是7。
9. 标准差 (Standard Deviation, SD):
   • 在数据集{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9}中，标准差是2，这意味着数据点离平均值的平均距离是2。
10. 方差 (Variance):
    • 在同一个数据集{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9}中，方差是4，因为标准差的平方是2^2 = 4。
11. 范围 (Range):
    • 在数据集{2, 4, 7, 9}中，范围是7，因为最大值9减最小值2等于7。
12. 众数 (Mode):
    • 在数据集{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4}中，众数是3，因为3出现的次数最多。
13. 偏度 (Skewness):
    • 如果我们有一个数据集{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4}，它的偏度是0，因为数据是对称分布的。
14. 峰度 (Kurtosis):
    • 在一个尖峰分布的数据集中，峰度会高于正态分布的峰度。例如，数据集{1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}的峰度较高，因为数据集的尾部较重。
15. 百分位数 (Percentile):
    • 在数据集{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中，第25个百分位数是3.25，因为25%的数据小于或等于这个值。
16. 相关系数 (Correlation Coefficient):
    • 如果我们有两组数据，比如{1, 2, 3, 4, 5}和{2, 4, 6, 8, 10}，它们之间的相关系数是1，因为它们之间存在完全的正线性关系。
17. 回归分析 (Regression Analysis):
    • 例如，我们想预测房价基于房子的大小。通过回归分析，我们可以得到一个方程，用来预测基于房子大小的房价。
18. 样本 (Sample):
    • 如果我们有一个包含1000个人的大型社区，我们可能只从中抽取100个人来研究他们的收入水平，这100个人就是一个样本。
19. 总体 (Population):
    • 在上述例子中，这个社区的所有1000个人就是总体。
20. 极值 (Outlier):
    • 在数据集中明显偏离其他观测点的数值

听故事学数据类型和水平

故事名称：“霍格沃茨植物学实验”

在霍格沃茨，草药学教授邀请学生参与一个实验，研究不同魔法肥料对植物生长的影响。

1. 实验设置：
   • 独立变量：三种不同的魔法肥料（A、B、C）。
   • 因变量：植物的生长高度。
   • 因子：肥料的类型。
2. 实验过程：
   • 学生们将植物分成三组，每组使用一种肥料。
   • 他们定期测量植物的高度，记录数据。
3. 结果分析：
   • 通过比较三组植物的平均生长高度，学生们可以了解哪种肥料对植物生长最有效。

这个故事展示了如何在实验中使用独立变量、因变量和因子。通过改变独立变量（肥料类型），观察因变量（植物高度）的变化，学生们可以理解不同条件下的效果差异。

听故事理解概率理论

在霍格沃茨，有一位名叫艾米的学生收到了一个神奇的糖果袋，袋子里有五种颜色的糖果：红色、蓝色、绿色、黄色和紫色。艾米想知道每次随机抽取一颗糖果时得到每种颜色的概率。

她记录了每种颜色糖果的数量：红色10颗，蓝色15颗，绿色5颗，黄色20颗，紫色10颗。总共有60颗糖果。

1. 计算概率:
   • 抽到红色糖果的概率是10/60。
   • 抽到蓝色糖果的概率是15/60。
   • 以此类推。
2. 期望值:
   • 如果每种颜色的糖果代表不同的分数（红色1分，蓝色2分等），艾米可以计算她期望得到的平均分数。
3. 多次抽取:
   • 艾米每天都抽取一颗糖果，记录下来。随着时间的推移，她会发现实际结果越来越接近她最初计算的概率。

通过这个故事，我们可以看到概率是如何在实际生活中被应用的，以及如何通过观察和记录来验证概率理论。这个简单的例子展示了概率的基本概念，并帮助我们理解概率在预测未来事件中的作用。

统计学显著 statitical significant

统计学显著性是一个衡量结果不太可能是偶然发生的标准。在统计假设检验中，我们通常设置一个阈值（显著性水平），如0.05或5%，来决定一个统计结果是否显著。如果得到的p值小于这个阈值，我们就说结果在统计上是显著的。

以下是一些与统计学显著性相关的关键点：

置信区间

置信区间是一个来自于统计学的概念，它提供了对未知参数（比如平均数、比例、差异等）可能值的一个区间估计。在实际应用中，这个区间表示了，在一定的置信水平（常见的如95%）下，参数的真实值有很大概率落在这个区间内。这是基于抽样分布和概率的概念，意味着如果我们重复抽样和计算置信区间很多次，那么有95%的这些区间将包含真实的参数值。

当我们在Tukey的多重比较结果中看到一个置信区间时，它代表了：

• lwr：置信区间的下限（Lower bound）
• upr：置信区间的上限（Upper bound）

如果置信区间的两个边界值lwr和upr都是正数，或者都是负数，那么我们可以说这个置信区间不包括0，这通常意味着差异是统计学上显著的。相反，如果置信区间从负数跨越到正数（即lwr是负的，upr是正的），这个区间就包含了0，通常表明差异不是统计学上显著的。

例如，假设一个置信区间是(-1.79, 1.08)：

• 这个置信区间的下限是-1.79，上限是1.08。
• 因为这个区间包括了从负数到正数的值，所以它包含了0。
• 这表示我们不能拒绝两组之间没有差异的假设。

在实际应用中，置信区间的宽度也提供了一定的信息，更宽的置信区间意味着更大的不确定性。置信区间的宽度受样本大小、变异性以及置信水平的影响。更大的样本、更低的变异性或更低的置信水平（如90%）通常会导致更窄的置信区间，表示估计更精确。

概率分布是一个统计学的重要概念，用于描述随机变量或一系列随机变量在不同结果上的分布情况。每种概率分布都有其特定的特性和应用场景。我们可以通过中英文定义和一个小故事来理解几种常见的概率分布。

听故事学统计

故事名称：“霍格沃茨的魔法数据实验”

在霍格沃茨，一群学生决定用不同的概率分布来分析学校的日常活动。

1. 均匀分布实验：
   • 他们首先观察了掷骰子的结果，记录了每个数字出现的频率，发现每个数字出现的概率大致相等。
2. 二项分布实验：
   • 接着，他们对学生进行了一项实验，让每位学生抛硬币10次，记录正面出现的次数，结果符合二项分布的特征。
3. 正态分布实验：
   • 然后，他们测量了全校学生的身高，并发现数据大多围绕平均身高聚集，呈现出正态分布的形态。
4. 泊松分布实验：
   • 最后，他们记录了图书馆入口每小时进入的学生数，发现这个数据符合泊松分布。

通过这些实验，学生们不仅理解了不同概率分布的特性，还学会了如何将这些分布应用于实际数据。

T检验的类型

1. 单样本T检验（One-Sample T-Test）:
   • 用于比较单个样本的均值与已知的总体均值。
2. 独立样本T检验（Independent Two-Sample T-Test）:
   • 用于比较两个独立样本的均值。
3. 配对样本T检验（Paired Sample T-Test）:
   • 用于比较同一组受试对象在两种不同条件下的均值。

T检验的假设

• 零假设（\(H_0\)）: 两个样本均值之间没有显著差异。
• 备择假设（\(H_1\) 或 \(H_a\)）: 两个样本均值之间有显著差异。

T值的计算

T值的计算取决于T检验的类型。对于独立样本T检验，T值的计算公式为：

\[ T = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{s^2 (\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}} \]

其中： - \(\bar{X}_1\) 和 \(\bar{X}_2\) 分别是两个样本的均值。 - \(s^2\) 是两个样本方差的加权平均。 - \(n_1\) 和 \(n_2\) 是两个样本的大小。

故事理解T检验

故事名称: “霍格沃茨的魔法药水实验”

霍格沃茨的药剂课上，教授想要比较两种不同的魔法药水对植物生长的影响。他将学生分成两组，每组使用不同的药水。

1. 实验设计:
   • 第一组学生使用药水A，第二组使用药水B。
   • 记录两组植物的生长情况。
2. 进行T检验:
   • 教授计算两组植物生长高度的平均值，并使用T检验来确定两种药水的效果是否有显著差异。
3. 得出结论:
   • 如果T值表明两组之间有显著差异，则教授可以推断这两种药水的效果不同。

这个故事说明了T检验在实验数据分析中的应用，帮助我们确定两个样本间是否存在显著的统计差异。

第一步：收集数据

假设我们有两组数据，每组数据包含药水对植物生长高度的影响。这里，我们会随机生成一些示例数据来模拟这个实验。

# 随机生成示例数据
set.seed(123)  # 为了结果可重现
growth_A <- rnorm(30, mean=5, sd=1.5)  # 药水A的效果
growth_B <- rnorm(30, mean=6, sd=1.5)  # 药水B的效果

第二步：整理数据

对数据进行基本的探索，比如计算描述性统计量，或者绘制盒形图来查看数据分布。

# 描述性统计
summary(growth_A)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   2.050   3.993   4.889   4.929   5.733   7.680

summary(growth_B)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   3.677   5.545   6.071   6.268   7.136   9.253

# 绘制盒形图
boxplot(growth_A, growth_B, names=c("药水A", "药水B"),
        ylab="植物生长高度", col=c("lightblue", "lightgreen"))

第三步：进行T检验

使用Welch两样本T检验来比较两组数据。

• t值（-3.7926）: 指示两个样本均值之间的标准化差异。负值表明growth_A的均值低于growth_B。
• 自由度（56.559）: 由于采用Welch近似，这个自由度不一定是整数。
• p值（0.0003646）: 这个非常小的p值表明两个样本均值之间存在显著差异。
• 95%置信区间（-2.0448139 到 -0.6315124）: 我们可以95%的置信度认为，真实的均值差异位于这个区间内。
• 样本均值: growth_A和growth_B的均值分别为4.929344和6.267508。

# 独立样本T检验
t.test(growth_A, growth_B)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  growth_A and growth_B
## t = -3.7926, df = 56.559, p-value = 0.0003646
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -2.0448139 -0.6315124
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  4.929344  6.267508

第四步：结果分析

1. T值（t = -3.7926）:
   • T值是一个统计量，表示样本均值之间差异的大小。这里的值是-3.7926，表明两个样本均值之间有显著差异。负值表示第一个样本（growth_A）的均值小于第二个样本（growth_B）的均值。
2. 自由度（df = 56.559）:
   • 自由度是进行T检验所依据的样本信息量。在韦尔奇检验中，自由度会根据样本大小和方差进行调整，以更准确地反映实验的不确定性。
3. P值（p-value = 0.0003646）:
   • P值是观察到的数据（或更极端的数据）在零假设为真的情况下出现的概率。这里的P值非常小（远小于0.05），意味着在假设两组间无差异的情况下，观察到这样或更极端差异的概率非常低。因此，我们有足够的证据拒绝零假设，接受备择假设，认为两个样本均值之间存在显著差异。
4. 95%置信区间（-2.0448139 到 -0.6315124）:
   • 这个区间表示我们有95%的信心认为真实的均值差异落在这个范围内。由于这个区间不包括0，这进一步支持了两个样本均值存在显著差异的结论。
5. 样本均值:
   • mean of x (4.929344) 和 mean of y (6.267508) 分别是两个样本的均值。这表明growth_B样本的均值高于growth_A样本。

综上所述，这个T检验的结果表明，两种魔法药水对植物生长的影响存在显著差异，且药水B的效果似乎优于药水A。

第一步：收集数据

首先，你会收集数据。比如你有三种细胞（A、B、C），并且有两种试剂类型（X和Y）。你测量了使用不同试剂后细胞的生长速度。数据可能是这样收集的：

• Cell A with Reagents X
• Cell A with Reagents Y
• Cell B with Reagents X
• Cell B with Reagents Y
• Cell C with Reagents X
• Cell C with Reagents Y

每个组合收集30个数据点。

第二步：整理数据

将数据整理成一个data.frame对象，例如:

# 假设的数据
set.seed(123) # 确保结果的可重复性
cell_growth <- data.frame(
  cell_type = factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 60)),
  reagents_type = factor(rep(c("X", "Y"), each = 30)),
  days = c(rnorm(30, mean = 35, sd = 3.5), 
             rnorm(30, mean = 40, sd = 3.5), 
             rnorm(30, mean = 30, sd = 3.5), 
             rnorm(30, mean = 45, sd = 3.5), 
             rnorm(30, mean = 25, sd = 3.5), 
             rnorm(30, mean = 50, sd = 3.5))
)
head(cell_growth)

##   cell_type reagents_type     days
## 1         A             X 33.03834
## 2         A             X 34.19438
## 3         A             X 40.45548
## 4         A             X 35.24678
## 5         A             X 35.45251
## 6         A             X 41.00273

第三步：进行ANOVA分析

我们使用ANOVA来看看试剂类型是否显著影响细胞生长速度。

# ANOVA
aov_result <- aov(days ~ cell_type * reagents_type, data = cell_growth)
summary(aov_result)

##                          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)    
## cell_type                 2      4       2   0.187   0.83    
## reagents_type             1  10837   10837 974.933 <2e-16 ***
## cell_type:reagents_type   2   3138    1569 141.159 <2e-16 ***
## Residuals               174   1934      11                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

第四步：检查模型假设

我们需要检查残差是否近似正态分布，这是ANOVA的一个假设。

在实验室研究中，确保数据满足ANOVA的假设是非常重要的，因为这直接关系到你的结论是否可靠。如果残差分布显示出偏离正态分布的迹象，你可能需要转换数据或者使用非参数统计方法，这些方法不依赖于正态分布的假设。这样，你可以确保你的研究结论是建立在坚实的统计基础之上的。

qqnorm(residuals(aov_result))
qqline(residuals(aov_result))

hist(residuals(aov_result))

shapiro_res_test <- shapiro.test(residuals(aov_result))
shapiro_res_test

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(aov_result)
## W = 0.98798, p-value = 0.1298

ANOVA 小课堂

在使用ANOVA等统计测试时，我们通常假设数据满足一定的条件，以确保测试结果的有效性。对于ANOVA，一个重要的假设是数据的残差（实际观测值与模型预测值之差）近似正态分布。现在，让我们深入了解这个概念：

第五步：Post hoc 测试

如果ANOVA显示显著性，你可能需要进行post hoc测试来查看哪些组之间存在显著差异。

# TukeyHSD进行多重比较
TukeyHSD(aov_result)

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = days ~ cell_type * reagents_type, data = cell_growth)
## 
## $cell_type
##            diff       lwr      upr     p adj
## B-A -0.35123046 -1.790178 1.087717 0.8325703
## C-A -0.28192209 -1.720870 1.157026 0.8885806
## C-B  0.06930837 -1.369639 1.508256 0.9928783
## 
## $reagents_type
##        diff      lwr      upr p adj
## Y-X 15.5185 14.53756 16.49944     0
## 
## $`cell_type:reagents_type`
##               diff        lwr       upr   p adj
## B:X-A:X  -4.749665  -7.230388 -2.268943 1.8e-06
## C:X-A:X -10.477668 -12.958391 -7.996946 0.0e+00
## A:Y-A:X   5.789047   3.308325  8.269770 0.0e+00
## B:Y-A:X   9.836252   7.355529 12.316974 0.0e+00
## C:Y-A:X  15.702871  13.222149 18.183594 0.0e+00
## C:X-B:X  -5.728003  -8.208725 -3.247280 0.0e+00
## A:Y-B:X  10.538713   8.057990 13.019435 0.0e+00
## B:Y-B:X  14.585917  12.105195 17.066640 0.0e+00
## C:Y-B:X  20.452537  17.971814 22.933259 0.0e+00
## A:Y-C:X  16.266716  13.785993 18.747438 0.0e+00
## B:Y-C:X  20.313920  17.833198 22.794643 0.0e+00
## C:Y-C:X  26.180540  23.699817 28.661262 0.0e+00
## B:Y-A:Y   4.047205   1.566482  6.527927 7.6e-05
## C:Y-A:Y   9.913824   7.433102 12.394547 0.0e+00
## C:Y-B:Y   5.866620   3.385897  8.347342 0.0e+00

Tukey的多重比较测试是用来在ANOVA分析之后进行的，它帮助我们了解哪些组之间的差异是显著的。这里是一个简化的解释：

1. diff 列表示了两组之间的平均差异。
2. lwr 和 upr 分别表示差异的95%置信区间的下限和上限。如果这个区间不包含0，那么我们可以说这两组之间有显著差异。
3. p adj 是经过调整的p值，用来考虑进行多次比较时出现假阳性的风险。如果p adj 小于0.05，我们通常认为两组之间有显著差异。

第六步：可视化结果

# 使用ggplot2绘图
library(ggplot2)
ggplot(cell_growth, aes(x = reagents_type, y = days, fill = cell_type)) +
  geom_boxplot() +
  facet_wrap(~ cell_type) +
  theme_minimal() +
  labs(title = "Cell Growth with Different Regents", x = "Reagents Type", y = "Days")

最后，我们可视化数据来直观显示差异。

Multi-factor ANOVA的基本概念

1. 因素（Factors）:
   • 在多因素ANOVA中，因素是影响因变量的独立变量。例如，如果你正在研究肥料类型和灌溉量对植物生长的影响，则肥料类型和灌溉量都是因素。
2. 水平（Levels）:
   • 每个因素可以有两个或多个水平。例如，肥料类型可以有有机肥和化学肥两个水平。
3. 因变量（Dependent Variables）:
   • 被研究的结果变量。在前面的例子中，植物的生长速度或生长高度可以是因变量。
4. 交互作用（Interactions）:
   • 当两个或更多因素的组合效应与它们各自独立效应的简单相加不同，我们称之为交互作用。例如，某种特定肥料在特定灌溉水平下可能效果更佳。

# 安装和加载所需的包
if (!require("dplyr")) install.packages("dplyr")

## Loading required package: dplyr

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

if (!require("ggplot2")) install.packages("ggplot2")
if (!require("car")) install.packages("car")

## Loading required package: car

## Loading required package: carData

## 
## Attaching package: 'car'

## The following object is masked from 'package:dplyr':
## 
##     recode

library(dplyr)
library(ggplot2)
library(car)

# 假设的数据集
set.seed(123)
data <- expand.grid(Light = c("Low", "Medium", "High"),
                    Soil = c("Regular", "Nutrient-rich"))
data$Growth <- rnorm(6, mean = c(5, 7, 9, 6, 8, 10), sd = 1.5)

# 查看数据结构
str(data)

## 'data.frame':    6 obs. of  3 variables:
##  $ Light : Factor w/ 3 levels "Low","Medium",..: 1 2 3 1 2 3
##  $ Soil  : Factor w/ 2 levels "Regular","Nutrient-rich": 1 1 1 2 2 2
##  $ Growth: num  4.16 6.65 11.34 6.11 8.19 ...
##  - attr(*, "out.attrs")=List of 2
##   ..$ dim     : Named int [1:2] 3 2
##   .. ..- attr(*, "names")= chr [1:2] "Light" "Soil"
##   ..$ dimnames:List of 2
##   .. ..$ Light: chr [1:3] "Light=Low" "Light=Medium" "Light=High"
##   .. ..$ Soil : chr [1:2] "Soil=Regular" "Soil=Nutrient-rich"

# 数据可视化
ggplot(data, aes(x = Light, y = Growth, fill = Soil)) +
  geom_bar(stat = "identity", position = position_dodge()) +
  theme_minimal() +
  labs(title = "Plant Growth under Different Light Conditions and Soil Types",
       x = "Light Condition",
       y = "Growth Height (cm)")

# 进行多因素ANOVA
anova_result <- aov(Growth ~ Light * Soil, data = data)
summary(anova_result)

##             Df Sum Sq Mean Sq
## Light        2  48.22  24.111
## Soil         1   3.71   3.713
## Light:Soil   2   0.13   0.064

# 检查交互作用
interaction.plot(data$Light, data$Soil, data$Growth,
                 type="b", col=c("red", "blue"),
                 pch=c(18, 24), xlab="Light Condition", ylab="Growth Height (cm)")

绘制散点图和回归线

ggplot(experiment_data, aes(x = nutrient_concentration, y = growth_rate)) +
  geom_point() +                                # 绘制散点
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE) +      # 绘制线性回归线，不包括置信区间
  labs(x = "营养素浓度", y = "细胞生长速率", title = "营养素浓度与细胞生长速率的关系") +
  theme_minimal()

## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

如果p值小于你的显著性水平（通常为0.05），则可以认为营养素浓度与细胞生长速率之间存在显著的线性关系。而R平方值则告诉你模型拟合的好坏，即营养素浓度变化能解释细胞生长速率变化的比例。

故事：霍格沃茨的魔法糖果偏好

霍格沃茨的学生会组织了一次魔法糖果品尝活动，目的是看看不同年级的学生对糖果口味的偏好是否有显著差异。

数据收集: - 学生会准备了四种口味的糖果：柠檬、草莓、巧克力和蓝莓。 - 他们记录了每个年级选择每种口味糖果的学生数。

# 模拟数据
# 假设有四个年级和四种糖果口味
students <- c('Year 1', 'Year 2', 'Year 3', 'Year 4')
flavors <- c('Lemon', 'Strawberry', 'Chocolate', 'Blueberry')
# 创建一个矩阵，行代表年级，列代表糖果口味的选择次数
candy_choices <- matrix(c(50, 30, 20, 40,  # Year 1
                          25, 45, 30, 20,  # Year 2
                          30, 20, 40, 30,  # Year 3
                          45, 15, 30, 30), # Year 4
                        nrow = 4, byrow = TRUE)

# 转换矩阵为数据框，并为行和列命名
candy_data <- data.frame(candy_choices)
rownames(candy_data) <- students
colnames(candy_data) <- flavors

# 显示数据框以验证数据
print(candy_data)

##        Lemon Strawberry Chocolate Blueberry
## Year 1    50         30        20        40
## Year 2    25         45        30        20
## Year 3    30         20        40        30
## Year 4    45         15        30        30

卡方独立性检验: - 零假设（\(H_0\)）: 学生的年级和糖果口味偏好之间是独立的，没有关联。 - 备择假设（\(H_a\)）: 年级和糖果口味偏好之间有关联。

进行卡方检验: - 学生会使用收集的数据进行卡方检验，计算卡方统计量，比较观察频数和在零假设下期望频数的差异。

# 进行卡方检验
candy_chi_test <- chisq.test(candy_data)

# 打印检验结果
print(candy_chi_test)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  candy_data
## X-squared = 41.703, df = 9, p-value = 3.724e-06

结果: - 如果计算出的卡方统计量和相应的p值表明两个变量不独立，学生会可能会根据年级调整糖果的购买和分配。卡方检验告诉我们，基于提供的糖果选择次数数据，不同年级学生的糖果口味偏好是否存在统计学上的显著差异。检验的输出将包含卡方统计量、自由度和p值。如果p值小于显著性水平（通常是0.05），我们就可以拒绝零假设，着我们的故事里， p-value = 3.724e-06， 这表明不同年级的学生在糖果口味选择上存在显著差异。